什麼是共鳴？
在上一篇筆記中，我們了解了聲音的工作原理。 讓我們重複這個公式：
聲音 = 地音 + 所有多重諧波
此外，在日本人欣賞櫻花的同時，我們也會欣賞頻率響應圖——聲音的幅頻特性（圖1）：
回想一下，橫軸代表音高（振盪頻率），縱軸代表響度（幅度）。
每條垂直線都是一個諧波，第一個諧波通常稱為基波。 諧波排列如下：二次諧波比基音高2倍，三次諧波為三，四次諧波為四，依此類推。
為了簡潔起見，而不是“頻率 n次諧波”我們會簡單地說“n次諧波”，而不是“基頻”——“聲音頻率”。
所以，看看頻率響應，我們不難回答這個問題，什麼是協和。
如何數到無窮大？
諧音的字面意思是“共同發聲”，聯合發聲。 兩種不同的聲音在一起聽起來像什麼？
讓我們將它們畫在同一張圖表上（圖 2）：
答案是：一些諧波可以在頻率上重合。 合乎邏輯的假設是，匹配頻率越多，“共同”的聲音就越多，因此，這種音程的聲音就越和諧。 確切地說，重要的不僅僅是匹配諧波的數量，而是所有發聲諧波匹配的比例，即匹配數量與發聲諧波總數的比率。
我們得到計算協和的最簡單公式：
哪裡 N索夫普 是匹配諧波的數量， N常見 是發聲諧波的總數（不同發聲頻率的數量），並且 缺點 是我們想要的和諧。 為了在數學上正確，最好將數量稱為 頻率協調性的量度。
好吧，事情很小：你需要計算 N索夫普 и N常見，除以另一個，得到想要的結果。
唯一的問題是諧波總數甚至匹配諧波的數量都是無限的。
如果我們將無窮除以無窮會發生什麼？
讓我們改變上一張圖表的比例，“遠離”它（圖 3）
我們看到匹配的諧波一次又一次地出現。 重複圖片（圖 4）。
這種重複會幫助我們。
我們計算其中一個虛線矩形（例如，在第一個）中的比率 (1) 就足夠了，然後，由於重複和整行，該比率將保持不變。
為簡單起見，第一個（較低）聲音的基音的頻率將被視為等於一，而第二個聲音的基音的頻率將被寫為不可約分數 
.
讓我們在括號中指出，在音樂系統中，通常使用的正是聲音，其頻率比率由某個分數表示 
. 例如，五分之一的間隔是比率 
, 夸脫 – 
，特里頓— 
等。
讓我們計算第一個矩形內的比率 (1)（圖 4）。
計算匹配諧波的數量相當容易。 形式上，它們有兩個，一個屬於低聲部，第二個屬於上聲部，在圖 4 中它們用紅色標記。 但是這兩個諧波分別以相同的頻率發出聲音，如果我們計算匹配頻率的數量，那麼將只有一個這樣的頻率。
發聲頻率的總數是多少？
讓我們像這樣爭論。
較低聲音的所有諧波都以整數（1、2、3等）排列。 只要頂部聲音的任何諧波是整數，它將與底部的諧波之一重合。 高音的所有諧波都是基音的倍數 , 所以頻率 n- 次諧波將等於：
也就是說，它將是一個整數（因為 m 是一個整數）。 這意味著矩形中的上部聲音具有從第一個（基音）到 n-哦，因此，聲音 n 頻率。
由於較低聲音的所有諧波都位於整數中，並且根據（3），第一次重合發生在頻率 m, 原來矩形內較低的聲音會給出 m 發聲頻率。
需要注意的是，重合頻率 m 我們又數了兩次：當我們計算高音的頻率時，以及當我們數低低音的頻率時。 但實際上，頻率是一，為了正確答案，我們需要減去一個“額外”頻率。
矩形內所有探測頻率的總和將是：
將（2）和（4）代入式（1），我們得到一個計算和聲的簡單表達式：
為了強調我們計算的聲音的和聲，您可以在括號中指出這些聲音 缺點:
使用這樣一個簡單的公式，您可以計算任何音程的協和。
現在讓我們考慮頻率協和的一些特性及其計算示例。
屬性和示例
首先，讓我們計算最簡單音程的協和音，並確保公式（6）“有效”。
什麼區間最簡單？
絕對是首要的。 兩個音符齊聲發聲。 在圖表上，它將如下所示：
我們看到所有的探測頻率絕對一致。 因此，協和必須等於：
現在讓我們用比率代替齊聲 
代入式(6)，我們得到：
計算結果與“直觀”的答案一致，這是意料之中的。
讓我們再舉一個例子，其中直觀的答案同樣顯而易見——八度音階。
在一個八度音程中，高音比低音高 2 倍（根據基音的頻率），分別在圖表上如下所示：
從圖中可以看出，每個二次諧波都重合，直觀的答案是：諧和度為50%。
讓我們通過公式（6）計算它：
同樣，計算值等於“直觀”。
如果我們把音符當作較低的聲音 至 並在圖表上繪製八度音階內所有音程的協和值（簡單區間)，我們得到下圖：
和弦的最高音階在八度、五度和四度。 他們在歷史上提到了“完美”的諧音。 小三度和大三度，小六度和大六度略低，這些間隔被認為是“不完美的”協和。 其餘的音程具有較低程度的協和，傳統上它們屬於不協和組。
現在我們列出頻率協和測量的一些屬性，這些屬性來自其計算公式：
- 比率越複雜
（數量越多 m и n)，音程的輔音越少.
И m и n 在公式（6）中，在分母中，因此，隨著這些數字的增加，和聲的量度減小。
- 音程的上同音等於音程的下同音。
為了得到一個向下間隔而不是一個向上間隔，我們需要比率 交換 m и n. 但是在公式（6）中，這樣的替換絕對不會改變。
- 一個音程的頻率協和的度量並不取決於我們從哪個音符構建它。
如果您將兩個音符向上或向下移動相同的音程（例如，不是從一個音符構建五度 至，但從註釋 d)，然後比率 音符之間不會改變，因此，頻率協和的測量值將保持不變。
我們可以給出和聲的其他屬性，但現在我們將限制在這些屬性上。
物理和歌詞
圖 7 讓我們了解了協和是如何工作的。 但這就是我們真正感知音程協調性的方式嗎？ 是否有人不喜歡完美的和聲，但最不和諧的和聲似乎令人愉快？
是的，這樣的人肯定存在。 為了解釋這一點，應該區分兩個概念： 身體上的和諧 и 感知和諧.
我們在本文中考慮的所有內容都與身體協調性有關。 要計算它，您需要知道聲音是如何工作的，以及不同的振動是如何疊加的。 身體協調性為感知協調性提供了先決條件，但並非 100% 決定它。
感知到的和聲是非常簡單地確定的。 有人問他是否喜歡這種諧音。 如果是，那麼對他來說，這是和諧； 如果不是，那就是不和諧。 如果給他兩個音程進行比較，那麼我們可以說其中一個在此時的人看來更輔音，另一個則不那麼輔音。
可以計算感知到的協調性嗎？ 即使我們假設它是可能的，那麼這個計算將是災難性的複雜，它將包括一個更多的無限——一個人的無限：他的經驗、聽力特徵和大腦能力。 這種無窮大不是那麼容易處理的。
然而，這方面的研究正在進行中。 特別是，為這些音符提供音頻材料的作曲家 Ivan Soshinsky 開發了一個程序，您可以使用該程序為每個人構建一個單獨的諧音感知圖。 mu-theory.info 網站目前正在開發中，任何人都可以在其中進行測試並找出他們的聽力特徵。
然而，如果有一種感知到的和聲，它與物理的不同，那麼計算後者的意義何在？ 我們可以用更有建設性的方式重新表述這個問題：這兩個概念是如何關聯的？
研究表明，平均感知和諧與身體和諧之間的相關性約為 80%。 這意味著每個人可能有自己的個人特徵，但聲音的物理特性對和聲的定義做出了巨大的貢獻。
當然，這方面的科學研究還處於起步階段。 而作為聲音的結構，我們採用了一個比較簡單的多諧波模型，和音的計算採用了最簡單的——頻率，並沒有考慮大腦在處理聲音信號時的活動特性。 但是，即使在這種簡化的框架內，理論和實驗之間也獲得了非常高的相關性，這一事實非常令人鼓舞，並刺激了進一步的研究。
科學方法在音樂和聲領域的應用不僅限於和聲的計算，還產生了更多有趣的結果。
例如，在科學方法的幫助下，音樂和聲可以被圖形化、可視化地描繪出來。 我們將在下一次討論如何做到這一點。
作者——羅曼·奧萊尼科夫
